2024-01-24

起因

马上就要放寒假了，组里的服务器都没有配公网ip的（我甚至怀疑没有配固定ip），为了能够回家后在家里也能连上组里服务器跑代码，因此需要做一个内网穿透，让服务器的ssh服务暴露在公网上。

2023-11-04

题目1

给定线性空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的两组基

\varepsilon_{1}=(1,0,1)^{\top},\varepsilon_{2}=(2,1,0)^{\top},\varepsilon_{3}=(1,1,1)^{\top}

\eta_{1}=(1,2,-1)^{\top},\eta_{2}=(2,2,-1)^{\top},\eta_{3}=(2,-1,-1)^{\top}

定义 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\mathscr{A}$ 为 $\mathscr{A}(\varepsilon_i)=\eta_i(i=1,2,3)$ 试求：

(1)从基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 到基 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 的过渡矩阵；

(2) $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 下的矩阵；

(3) $\mathscr{A}$ 在基 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 下的矩阵

2023-10-30

定义：

$\sigma \in \mathcal{L}(V_1,V_2)$ （ $\sigma$ 是线性空间 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个线性映射）

$I_m(\sigma)\triangleq\{\sigma(\alpha)\mid\alpha\in V_1\}$ （ $I_m$ 是 $\sigma$ 的像/值域）

$\operatorname{Ker}(\sigma)\triangleq\{\alpha\in V_1\mid\sigma(\alpha)=0\}$ （ $\operatorname{Ker}(\sigma)$ 是 $\sigma$ 的核）

证明：

$I_m(\sigma)$ 是 $V_2$ 的子空间， $\operatorname{Ker}(\sigma)$ 是 $V_1$ 的子空间
$I_m(\sigma)=\operatorname{span}(\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n))$ ，其中 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $V_1$ 的基
$\operatorname{dim}(I_m(\sigma))=\operatorname{rank}(A)$ ，其中 $A$ 是 $\sigma$ 的矩阵
$\operatorname{dim}(I_m(\sigma))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(\sigma))=n$