矩阵论作业—

题目1

给定线性空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的两组基

\varepsilon_{1}=(1,0,1)^{\top},\varepsilon_{2}=(2,1,0)^{\top},\varepsilon_{3}=(1,1,1)^{\top}

\eta_{1}=(1,2,-1)^{\top},\eta_{2}=(2,2,-1)^{\top},\eta_{3}=(2,-1,-1)^{\top}

定义 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\mathscr{A}$ 为 $\mathscr{A}(\varepsilon_i)=\eta_i(i=1,2,3)$ 试求：

(1)从基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 到基 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 的过渡矩阵；

(2) $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 下的矩阵；

(3) $\mathscr{A}$ 在基 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 下的矩阵

解：

(1) 从基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 到基 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 的过渡矩阵为

P=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)^{-1}(\eta_1,\eta_2,\eta_3)= \begin{pmatrix} -2&1&1\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1&2&2\\2&2&-1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-4&-3&3\\2&3&3\\2&1&-5\end{pmatrix}

(2) $\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)P$ ，故 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 下的矩阵为 $P$

(3) $\mathscr{A}(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\mathscr{A}((\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)P)=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)P$ ，故 $\mathscr{A}$ 在基 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 下的矩阵为 $P$

题目2

设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4$ 是4维线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵为

\left(\begin{matrix}1&0&2&1\\-1&2&1&3\\1&2&5&5\\2&-2&1&-2\end{matrix}\right)

(1)求 $\mathscr{A}$ 在基 $\eta_1=\varepsilon_1-2\varepsilon_2+\varepsilon_4,\eta_2=3\varepsilon_2-\varepsilon_3-\varepsilon_4,\eta_3=\varepsilon_3+\varepsilon_4,\eta_4=2\varepsilon_4$ 下的矩阵；

(2)求 $\mathscr{A}$ 的值域与核

解：

(1) 从 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4$ 到 $\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4$ 的过渡矩阵 $P$ 为

P=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&3&0&0\\0&-1&1&0\\1&-1&1&2\end{pmatrix}

因此， $\mathscr{A}$ 在 $\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4$ 的矩阵为

A'=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&3&0&0\\0&-1&1&0\\1&-1&1&2\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1&0&2&1\\-1&2&1&3\\1&2&5&5\\2&-2&1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&3&0&0\\0&-1&1&0\\1&-1&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3&3&2\\\frac23&-\frac43&\frac{10}3&\frac{10}3\\\frac83&-\frac{16}3&\frac{40}3&\frac{40}3\\0&1&-7&-8\end{pmatrix}

(2) 对 $A$ 行化简得到

A=\begin{pmatrix}1&0&2&1\\-1&2&1&3\\1&2&5&5\\2&-2&1&-2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&2&3&4\\0&2&3&4\\0&-2&-3&-4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&1&\frac{3}{2}&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

$A$ 的主元列为1、2列，因此， $R(\mathscr{A})=\operatorname{span}(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$

任取 $k_1\varepsilon_1+k_2\varepsilon_2+k_3\varepsilon_3+k_4\varepsilon_4\in\operatorname{Ker}(\mathscr{A})$

也即

\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&1&\frac{3}{2}&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{pmatrix}=0

解得

\begin{cases} k_1 = -2k_3 -k_4\\ k_2 = -\frac{3}{2}k_3-2k_4\\ k_3 \text{是自由变量}\\ k_4 \text{是自由变量}\\ \end{cases}

也即

\operatorname{Ker}(\mathscr{A})=(-2k_3 -k_4)\varepsilon_1+(-\frac{3}{2}k_3-2k_4)\varepsilon_2+k_3\varepsilon_3+k_4\varepsilon_4=\operatorname{span}(-2\varepsilon_1-\frac{3}{2}\varepsilon_2+\varepsilon_3,-\varepsilon_1+2\varepsilon_2+\varepsilon_4)

题目3

在 $n$ 维线性空间 $\mathbb{R}[x]_n$ 中，定义线性变换 $\mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$ ,其中 $f(x)\in \mathbb{R}[x]_n$ . 求 $\mathscr{D}$ 的值域与核。

解：

任取 $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\in \mathbb{R}[x]_n$ , 则

\mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)=a_{1}+2a_{2}x+\cdots+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}

由 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}$ 的任意性， $R(\mathscr{D})=\mathbb{R}[x]_{n-1}$ .

$\mathscr{D}(f(x))=0$ 当且仅当 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n-1}=0$ ,故 $\operatorname{Ker}(\mathscr{D})=\mathbb{R}$ 。

题目4

设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵，并且 $AB=BA$ 。证明：

(1)如果 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值，则 $B$ 相似于对角矩阵。

(2)如果 $A$ 与 $B$ 均为可对角化矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 同时为对角矩阵

证明：

(1)如果 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值 $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$ ，则存在可逆矩阵 $P$ 使得

A=P\left(\begin{matrix}\lambda_{1}&&\\&\ddots&\\&&\lambda_{n}\end{matrix}\right)P^{-1}

也即

AB=P\left(\begin{matrix}\lambda_{1}&&\\&\ddots&\\&&\lambda_{n}\end{matrix}\right)P^{-1}B=BA=BP\left(\begin{matrix}\lambda_{1}&&\\&\ddots&\\&&\lambda_{n}\end{matrix}\right)P^{-1}

等式两边同时左乘 $P^{-1}$ 右乘 $P$ ，则

\left(\begin{matrix}\lambda_{1}&&\\&\ddots&\\&&\lambda_{n}\end{matrix}\right)P^{-1}BP=P^{-1}BP\left(\begin{matrix}\lambda_{1}&&\\&\ddots&\\&&\lambda_{n}\end{matrix}\right)

因为对角线元素互异的对角阵的可交换矩阵一定是对角阵， $P^{-1}BP$ 为对角阵，也即 $B$ 相似于对角阵

(2) 该命题为高等代数中的“同时相似对角化问题”，详见https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU4MTg0NjEzOQ%3D%3D&mid=2247492990&idx=2&sn=da46d2701c4c7d24c83d555a3648781d&chksm=fd43f06aca34797ccad03d57e091bf5f60b3a3997a356c85a7fd7bd091bb12c98232b202d664&scene=27 的例4

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题目1

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