题目1.
在 R4 中求一单位向量与(1,1,−1,1)⊤,(1,−1,−1,1)⊤,(2,1,1,3)⊤ 都正交
解:
设此单位向量为x,则有
x⊤⎝⎛11−11⎠⎞=0x⊤⎝⎛1−1−11⎠⎞=0x⊤⎝⎛2113⎠⎞=0∥x∥2=1
也就是
⎝⎛1121−11−1−11113⎠⎞x=0
对系数矩阵进行行化简,得到
⎝⎛1121−11−1−11113⎠⎞∼⎝⎛1001−2−1−103101⎠⎞∼⎝⎛100010−103101⎠⎞
第1、2、3列为主元列,第四列为自由列,故
⎩⎨⎧x1=−34x4x2=0x3=−31x4x4是自由变量
也即x=−3x4⎝⎛401−3⎠⎞,取x=261⎝⎛401−3⎠⎞即满足∥x∥2=1
题目2.
设ε1,ε2,ε3,ε4,ε5 是R5 中一组标准正交基,V=span{α1,α2,α3},其中α1=ε1+ε5,α2=ε1−ε2+ε4,α3=2ε1+ε2+ε3,求 V 的一组标准正交基
概念回顾:
- Gram-Schmidt 正交化⽅法:
解:
令β1=α1,则(β1,β1)=2,(α2,β1)=1,(α3,β1)=2.
令β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1=21(ε1−2ε2+2ε4−ε5)=21β2′,
则(β2′,β2′)=10,(α3,β2′)=0
令β3=α3=2ε1+ε2+ε3
则(β3,β3)=6
取γ1=(β1,β1)β1=21(ε1+ε5)
,γ2=(β2′,β2′)β2=101(ε1−2ε2+2ε4−ε5)
γ3=(β3,β3)β3=61(2ε1+ε2+ε3)
则γ1,γ2,γ3为V的一组标准正交基
题目3.
⽤Gram Schmidt正交化⽅法,将内积空间V的给定⼦集S正交化,再找出V的
标准正交基,并求给定向量α在标准正交基下的坐标表达式:
V=R[x]3,定义内积为(f,g)=∫−11f(t)g(t)dt, S={1,x,x2},α=1+x
令α1=1,α2=x,α3=x2
令β1=α1=1,则(β1,β1)=2,(α2,β1)=0,(α3,β1)=32
令β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1=x,则(β2,β2)=32,(α3,β2)=0
令β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1=x2−31,则(β3,β3)=458
令γ1=∥β1∥β1=22,γ2=∥β2∥β2=26x,
γ3=∥β3∥β3=4310(x2−31)
则γ1,γ2,γ3为R[x]3的一组标准正交基。
题目4.
设α1=(1,0,2,1)⊤,α2=(2,1,2,3)⊤,α3=(0,1,−2,1)⊤,V1=span(α1,α2,α3), 则 V1 是欧氏空间 R4 的子空间,求 V1 的正交补 V1⊥ 的一组基
概念回顾:
- 设 V1,V2 是内积空间 V 中两个子空间. 向量 α∈V,如果对任意 β∈V1 都有(α,β)=0,则称 α 与子空间 V1 正交,记为 α⊥V1.如果对任意a∈V1,β∈V2都有(α,β)=0,则称子空间V1与V2正交,记为V1⊥V2
- 设 V1 是内积空间 V 的一个子空间,V 中所有与V1 正交的向量所作成的集合记为V1⊥,即V1⊥={α∈V∣α⊥V1},则称V1⊥为V1的正交补.
解:
求V1的正交补,也即求与α1,α2,α3都正交的向量x
⎝⎛12001122−2131⎠⎞x=0
对系数矩阵进行行化简
⎝⎛12001122−2131⎠⎞∼⎝⎛1000112−2−2111⎠⎞∼⎝⎛1000102−20110⎠⎞
第1、2列为主元列,3、4列为自由列,也即
⎩⎨⎧x1=−2x3−x4x2=2x3−x4x3是自由变量x4是自由变量
也即
x=x3⎝⎛−2210⎠⎞+x4⎝⎛−1−101⎠⎞
也就是说⎝⎛−1−101⎠⎞与⎝⎛−2210⎠⎞是V1正交补的一组基