题目1.

在 $\mathbb{R}^4$ 中求一单位向量与$(1,1,-1,1)^\top,(1,-1,-1,1)^\top,(2,1,1,3)^\top$ 都正交

解：

设此单位向量为$x$，则有

也就是

对系数矩阵进行行化简，得到

第1、2、3列为主元列，第四列为自由列，故

也即$x = -\frac{x_4}{3}\left(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ -3 \\ \end{matrix}\right)$，取$x = \frac{1}{\sqrt{26}}\left(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ -3 \\ \end{matrix}\right)$即满足$\left\lVert x \right\rVert_2=1$

题目2.

设$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4,\varepsilon_5$ 是$\mathbb{R}^5$ 中一组标准正交基，$V=\operatorname{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$,其中$\alpha_1=\varepsilon_1+\varepsilon_{5}$,$\alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}$,$\alpha_{3}=2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$,求 $V$ 的一组标准正交基

概念回顾：

1. Gram-Schmidt 正交化⽅法:

解：

令$\beta_{1}=\alpha_{1}$,则$\left(\beta_{1},\beta_{1}\right)=2,\left(\alpha_{2},\beta_{1}\right)=1,\left(\alpha_{3},\beta_{1}\right)=2.$

令$\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2},\beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1},\beta_{1}\right)}\beta_{1}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{1}-2\varepsilon_{2}+2\varepsilon_{4}-\varepsilon_{5}\right)=\frac{1}{2}\beta_{2}^{\prime},$ 则$\left(\beta_{2}^{\prime},\beta_{2}^{\prime}\right)=10,\left(\alpha_{3},\beta_{2}^{\prime}\right)=0$

令$\beta_{3}=\alpha_{3}=2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$ 则$\left(\beta_{3},\beta_{3}\right)=6$

取$\gamma_{1}=\frac{\beta_{1}}{\sqrt{(\beta_{1},\beta_{1})}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{5}\right)$ ,$\gamma_{2}=\frac{\beta_{2}}{\sqrt{(\beta_{2}^{\prime},\beta_{2}^{\prime})}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\varepsilon_{1}-2\varepsilon_{2}+2\varepsilon_{4}-\varepsilon_{5}\right)\:$

$\gamma_{3}=\frac{\beta_3}{\sqrt{(\beta_{3},\beta_{3})}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\right)$

则$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$为$V$的一组标准正交基

题目3.

⽤Gram Schmidt正交化⽅法，将内积空间$V$的给定⼦集$S$正交化，再找出$V$的 标准正交基，并求给定向量$\alpha$在标准正交基下的坐标表达式： $V=\mathbf{R}\left[ x \right]_3$,定义内积为$(f,g)=\int_{- 1}^1f(t)g(t)dt$, $S=\{1,x,x^2\}$,$\alpha= 1+ x$

令$\alpha_1=1,\alpha_2=x,\alpha_3=x^2$

令$\beta_1=\alpha_1=1$,则$(\beta_1,\beta_1)=2,(\alpha_2,\beta_1)=0,(\alpha_3,\beta_1)=\frac{2}{3}$

令$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=x$,则$(\beta_2,\beta_2)=\frac{2}{3},(\alpha_3,\beta_2)=0$

令$\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=x^2-\frac{1}{3}$,则$(\beta_3,\beta_3)=\frac{8}{45}$

令$\gamma_1=\frac{\beta_1}{\lVert \beta_1 \rVert}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\gamma_2=\frac{\beta_2}{\lVert \beta_2 \rVert}=\frac{\sqrt{6}}{2}x$， $\gamma_3=\frac{\beta_3}{\lVert \beta_3 \rVert}=\frac{3\sqrt{10}}{4}(x^2-\frac{1}{3})$ 则$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$为$\mathbf{R}\left[ x \right]_3$的一组标准正交基。

题目4.

设$\alpha_1= ( 1, 0, 2, 1) ^\top, \alpha_2= ( 2, 1, 2, 3) ^\top, \alpha_3= ( 0, 1, - 2, 1) ^\top, V_1= \operatorname{span}( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) ,$ 则 $V_{1}$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^{4}$ 的子空间，求 $V_{1}$ 的正交补 $V_{1}^{\perp}$ 的一组基

概念回顾：

1. 设 $V_1,V_2$ 是内积空间 $V$ 中两个子空间. 向量 $\alpha\in {V}$,如果对任意 $\beta\in V_1$ 都有$(\alpha,\beta)=0$,则称 $\alpha$ 与子空间 $V_{1}$ 正交，记为 $\alpha \bot V_{1}$.如果对任意$a\in\mathbb{V}_1,\beta\in\mathbb{V}_2$都有$(\alpha,\beta)=0$,则称子空间$V_1$与$V_2$正交，记为$V_1 \bot V_2$
2. 设 $V_{1}$ 是内积空间 $V$ 的一个子空间，$V$ 中所有与$V_{1}$ 正交的向量所作成的集合记为$V_1^\perp$,即$V_1^\perp=\{\alpha\in V|\alpha\bot V_1\}$,则称$V_1^\perp$为$V_1$的正交补.

解：

求$V_1$的正交补，也即求与$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$都正交的向量$x$

对系数矩阵进行行化简

第1、2列为主元列，3、4列为自由列，也即

也即

也就是说$\left(\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right)$与$\left(\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\right)$是$V_1$正交补的一组基