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2023-10-24
数学
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题目1.
题目2.
题目3.
题目4.

题目1.

R4\mathbb{R}^4 中求一单位向量与(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)(1,1,-1,1)^\top,(1,-1,-1,1)^\top,(2,1,1,3)^\top 都正交

解:

设此单位向量为xx,则有

x(1111)=0x(1111)=0x(2113)=0x2=1x^\top\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{matrix}\right)=0 \qquad x^\top\left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{matrix}\right)=0 \qquad x^\top\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{matrix}\right)=0 \qquad \left\lVert x \right\rVert_2=1

也就是

(111111112113)x=0\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ \end{matrix}\right) x = \mathbf{0}

对系数矩阵进行行化简,得到

(111111112113)(111102000131)(101101000031)\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ \end{matrix}\right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 1 \\ \end{matrix}\right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ \end{matrix}\right)

第1、2、3列为主元列,第四列为自由列,故

{x1=43x4x2=0x3=13x4x4是自由变量\begin{cases} x_1= -\frac{4}{3}x_4\\ x_2= 0\\ x_3= -\frac{1}{3}x_4\\ x_4 \text{是自由变量} \end{cases}

也即x=x43(4013)x = -\frac{x_4}{3}\left(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ -3 \\ \end{matrix}\right),取x=126(4013)x = \frac{1}{\sqrt{26}}\left(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ -3 \\ \end{matrix}\right)即满足x2=1\left\lVert x \right\rVert_2=1

题目2.

ε1,ε2,ε3,ε4,ε5\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4,\varepsilon_5R5\mathbb{R}^5 中一组标准正交基,V=span{α1,α2,α3}V=\operatorname{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\},其中α1=ε1+ε5\alpha_1=\varepsilon_1+\varepsilon_{5},α2=ε1ε2+ε4\alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+\varepsilon_{4},α3=2ε1+ε2+ε3\alpha_{3}=2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3},求 VV 的一组标准正交基

概念回顾:

  1. Gram-Schmidt 正交化⽅法:

解:

β1=α1\beta_{1}=\alpha_{1},则(β1,β1)=2,(α2,β1)=1,(α3,β1)=2.\left(\beta_{1},\beta_{1}\right)=2,\left(\alpha_{2},\beta_{1}\right)=1,\left(\alpha_{3},\beta_{1}\right)=2.

β2=α2(α2,β1)(β1,β1)β1=12(ε12ε2+2ε4ε5)=12β2,\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2},\beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1},\beta_{1}\right)}\beta_{1}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{1}-2\varepsilon_{2}+2\varepsilon_{4}-\varepsilon_{5}\right)=\frac{1}{2}\beta_{2}^{\prime}, (β2,β2)=10,(α3,β2)=0\left(\beta_{2}^{\prime},\beta_{2}^{\prime}\right)=10,\left(\alpha_{3},\beta_{2}^{\prime}\right)=0

β3=α3=2ε1+ε2+ε3\beta_{3}=\alpha_{3}=2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}(β3,β3)=6\left(\beta_{3},\beta_{3}\right)=6

γ1=β1(β1,β1)=12(ε1+ε5)\gamma_{1}=\frac{\beta_{1}}{\sqrt{(\beta_{1},\beta_{1})}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{5}\right) ,γ2=β2(β2,β2)=110(ε12ε2+2ε4ε5)\gamma_{2}=\frac{\beta_{2}}{\sqrt{(\beta_{2}^{\prime},\beta_{2}^{\prime})}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\varepsilon_{1}-2\varepsilon_{2}+2\varepsilon_{4}-\varepsilon_{5}\right)\:

γ3=β3(β3,β3)=16(2ε1+ε2+ε3)\gamma_{3}=\frac{\beta_3}{\sqrt{(\beta_{3},\beta_{3})}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\right)

γ1,γ2,γ3\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3VV的一组标准正交基

题目3.

⽤Gram Schmidt正交化⽅法,将内积空间VV的给定⼦集SS正交化,再找出VV的 标准正交基,并求给定向量α\alpha在标准正交基下的坐标表达式: V=R[x]3V=\mathbf{R}\left[ x \right]_3,定义内积为(f,g)=11f(t)g(t)dt(f,g)=\int_{- 1}^1f(t)g(t)dt, S={1,x,x2}S=\{1,x,x^2\},α=1+x\alpha= 1+ x

α1=1,α2=x,α3=x2\alpha_1=1,\alpha_2=x,\alpha_3=x^2

β1=α1=1\beta_1=\alpha_1=1,则(β1,β1)=2,(α2,β1)=0,(α3,β1)=23(\beta_1,\beta_1)=2,(\alpha_2,\beta_1)=0,(\alpha_3,\beta_1)=\frac{2}{3}

β2=α2(α2,β1)(β1,β1)β1=x\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=x,则(β2,β2)=23,(α3,β2)=0(\beta_2,\beta_2)=\frac{2}{3},(\alpha_3,\beta_2)=0

β3=α3(α3,β1)(β1,β1)β1=x213\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=x^2-\frac{1}{3},则(β3,β3)=845(\beta_3,\beta_3)=\frac{8}{45}

γ1=β1β1=22\gamma_1=\frac{\beta_1}{\lVert \beta_1 \rVert}=\frac{\sqrt{2}}{2}γ2=β2β2=62x\gamma_2=\frac{\beta_2}{\lVert \beta_2 \rVert}=\frac{\sqrt{6}}{2}xγ3=β3β3=3104(x213)\gamma_3=\frac{\beta_3}{\lVert \beta_3 \rVert}=\frac{3\sqrt{10}}{4}(x^2-\frac{1}{3})γ1,γ2,γ3\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3R[x]3\mathbf{R}\left[ x \right]_3的一组标准正交基。

题目4.

α1=(1,0,2,1),α2=(2,1,2,3),α3=(0,1,2,1),V1=span(α1,α2,α3),\alpha_1= ( 1, 0, 2, 1) ^\top, \alpha_2= ( 2, 1, 2, 3) ^\top, \alpha_3= ( 0, 1, - 2, 1) ^\top, V_1= \operatorname{span}( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) , V1V_{1} 是欧氏空间 R4\mathbb{R}^{4} 的子空间,求 V1V_{1} 的正交补 V1V_{1}^{\perp} 的一组基

概念回顾:

  1. V1,V2V_1,V_2 是内积空间 VV 中两个子空间. 向量 αV\alpha\in {V},如果对任意 βV1\beta\in V_1 都有(α,β)=0(\alpha,\beta)=0,则称 α\alpha 与子空间 V1V_{1} 正交,记为 αV1\alpha \bot V_{1}.如果对任意aV1,βV2a\in\mathbb{V}_1,\beta\in\mathbb{V}_2都有(α,β)=0(\alpha,\beta)=0,则称子空间V1V_1V2V_2正交,记为V1V2V_1 \bot V_2
  2. V1V_{1} 是内积空间 VV 的一个子空间,VV 中所有与V1V_{1} 正交的向量所作成的集合记为V1V_1^\perp,即V1={αVαV1}V_1^\perp=\{\alpha\in V|\alpha\bot V_1\},则称V1V_1^\perpV1V_1的正交补.

解:

V1V_1的正交补,也即求与α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3都正交的向量xx

(102121230121)x=0\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{matrix}\right) x = \mathbf{0}

对系数矩阵进行行化简

(102121230121)(102101210121)(102101210000)\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{matrix}\right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{matrix}\right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right)

第1、2列为主元列,3、4列为自由列,也即

{x1=2x3x4x2=2x3x4x3是自由变量x4是自由变量\begin{cases} x_1= -2x_3-x_4\\ x_2= 2x_3-x_4\\ x_3 \text{是自由变量}\\ x_4 \text{是自由变量} \end{cases}

也即

x=x3(2210)+x4(1101)x = x_3\left(\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\right)+x_4\left(\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right)

也就是说(1101)\left(\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right)(2210)\left(\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\right)V1V_1正交补的一组基

本文作者:insomnia

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