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2023-10-15
数学
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请注意,本文编写于 224 天前,最后修改于 223 天前,其中某些信息可能已经过时。

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题目1.
题目2.
题目3.
题目4.
题目5.
题目6
题目7
题目8

武大的矩阵论教材今年改为了南京航空航天大学戴华著的《矩阵论》,上课时老师会布置一些作业并指出期末考试就是上课讲的和布置作业的范围,所以我想,同步到blog吧,方便期末周复习~

题目1.

f:AB,g:BCf:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C 证明:若ffgg都是单(满)映射,则gfg \cdot f也是单(满)映射.

回顾概念:

  1. ff是集合AA到集合BB的一个映射,如果对任意a,bAa,b \in A,当aba \neq b时有f(a)f(b)f(a) \neq f(b),则称ff是集合AA到集合BB内的一一映射或称单映射
  2. 如果对任意bBb\in B都有一个aAa\in A使得f(a)=bf(a)=b(即R(f)=BR(f)=B),则称ffAABB上的映射或称ffAABB满映射;
  3. 如果映射ff既是单映射又是满映射,则称ffAABB上的一一映射或称ffAABB双映射.
  4. A,B,CA,B,C是三个非空集合,并设有两个映射f1:ABf2:BCf_1:A\rightarrow B, f_2:B\rightarrow C,由f1,f2f_1,f_2确定的AACC的映射f3:af2(f1(a)),aAf_3:a\rightarrow f_2(f_1(a)), a\in A称为映射f1f_1f2f_2的乘积,记为f3=f2f1f_3=f_2 \cdot f_1.

证明:

ffgg都是单映射,任取abAa \neq b \in A,由单映射的性质则有f(a)f(b)Bf(a) \neq f(b) \in B,由于gg是单映射,则g(f(a))g(f(b))Cg(f(a)) \neq g(f(b)) \in C,则说明gfg \cdot f是单映射

ffgg都是满映射,则可以任取一zCz \in C,那么存在一yBy \in B满足g(y)=zg(y) = z,由于gg是满映射,则存在一xAx \in A满足f(x)=yf(x) = y,那么也就是说任取一zCz \in C,存在xAx \in A满足g(f(x))=zg(f(x)) = z,则说明gfg \cdot f是满映射

题目2.

f:AB,g:BCf:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C 证明:若ffgg都是可逆映射,则gfg \cdot f也是可逆映射,并且有(gf)1=f1g1(g \cdot f)^{-1} = f^{-1}\cdot g^{-1}

回顾概念:

  1. 有映射f:ABf:A\rightarrow B,如果存在映射g:BAg:B\rightarrow A使得gf=IAfg=IBg \cdot f= I_A,f \cdot g=I_B其中IA,IBI_A,I_B分别是AABB上的恒等映射,则称ggff的逆映射,记为f1f^{-1},如果映射ff有逆映射f1f^{-1},则称ff为可逆映射.
  2. 映射的乘积适合结合律

证明: 由于ffgg都是可逆映射,则存在以下等式成立

f1g1(gf)=f1(g1g)f=f1IBf=IAf^{-1} \cdot g^{-1} \cdot (g \cdot f) = f^{-1} \cdot (g^{-1} \cdot g) \cdot f = f^{-1} \cdot I_B \cdot f = I_A
(gf)f1g1=g(ff1)g1=gIAg1=IB(g \cdot f) \cdot f^{-1} \cdot g^{-1} = g \cdot (f \cdot f^{-1}) \cdot g^{-1} = g \cdot I_A \cdot g^{-1} = I_B

所以,由可逆映射的概念,gfg \cdot f也是可逆映射,且有(gf)1=f1g1(g \cdot f)^{-1} = f^{-1}\cdot g^{-1}

题目3.

试证:在R2×2\mathbb{R^{2\times2}}中矩阵α1,α2,α3,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性无关

α1=(1111),α2=(1101),α3=(1110),α4=(1011)\alpha_1= \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix}\right) , \alpha_2= \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right) , \alpha_3= \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix}\right) , \alpha_4= \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix}\right)

回顾概念:

  1. VV是数域P\mathbb{P}上的线性空间,α1,α2,,αr(r1)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r (r\geqslant1)VV中一组向量,如果存在rr个不全为零的数k1,k2,,krPk_1,k_2,\cdots,k_r \in \mathbf{P},使得k1α1+k2α2++krαr=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r = 0,则称α1,α2,,αr(r1)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r (r\geqslant1)线性相关;如果向量组α1,α2,,αr(r1)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r (r\geqslant1)不线性相关,就称为线性无关.

证明: 若α1,α2,α3,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性相关,则存在不全为0的k1,k2,k3,k4Rk_1,k_2,k_3,k_4 \in \mathbb{R},满足

k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=(k1+k2+k3+k4k1+k2+k3k1+k3+k4k1+k2+k4)=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4 = \left(\begin{matrix} k_1+k_2+k_3+k_4 & k_1+k_2+k_3 \\ k_1+k_3+k_4 & k_1+k_2+k_4 \\ \end{matrix}\right) = 0

也即有

{k1+k2+k3+k4=0k1+0+k3+k4=0k1+k2+0+k4=0k1+k2+k3+0=0\begin{align*} \begin{cases} k_1+k_2+k_3+k_4 &= 0 \\ k_1+0+k_3+k_4 &= 0 \\ k_1+k_2+0+k_4 &= 0 \\ k_1+k_2+k_3 + 0 &= 0 \\ \end{cases} \end{align*}

也即

(1111101111011110)(k1k2k3k4)=(0000)\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ k_4 \\ \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix}\right)

对增广矩阵进行高斯消元法

(11110101101101011100)(11110010000010000010)(10000010000010000010)\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ \end{array}\right)

也就是说

(k1k2k3k4)=(0000)\left(\begin{matrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ k_4 \\ \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix}\right)

k1,k2,k3,k4k_1,k_2,k_3,k_4不全为0矛盾,所以α1,α2,α3,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性无关.

题目4.

VV为数域P\mathbb{P}上的线性空间,如果VV中向量组α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,可由向量组β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表示,证明:rank(α1,α2,,αr)rank(β1,β2,,βs)\text{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)\leqslant \text{rank}(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)

回顾概念:

  1. α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rβ1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s是线性空间VV中两个向量组,如果α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r中每个向量都可由向量组β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表示,则称向量组α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r可以由向量组β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表示,如果向量组α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r与向量组β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s可以互相线性表示,则称向量组α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r与向量组β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s是等价的.
  2. VV为数域P\mathbb{P}上的线性空间,如果如果VV中向量组α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性无关,并且可由向量组β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表示,则rsr \leqslant s
  3. α1,α2,,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s是线性空间VV中一组向量,如果α1,α2,,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s中存在rr个线性无关的向量αi1,αi2,,αir(1ijs,j=1,,r)\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r} (1\leqslant i_j \leqslant s,j=1,\cdots,r),并且α1,α2,,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s中任一向量都可由向量组αi1,αi2,,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}线性表示,则称αi1,αi2,,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}为向量组α1,α2,,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s的极大线性无关组,数rr称为向量组α1,α2,,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s的秩,记为 rank{α1,α2,,αs}=r\text{rank}\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\}=r

证明: 假设αi1,αi2,,αir1\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_{r_1}}α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r的极大线性无关组,βi1,βi2,,βir2\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_{r_2}}β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s的极大线性无关组,也就是说rank{α1,α2,,αr}=r1\text{rank}\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}=r_1, rank{β1,β2,,βs}=r2\text{rank}\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\}=r_2.

根据定义,若α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,可由向量组β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表示,则αi1,αi2,,αir1\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_{r_1}}也可由向量组β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表示。

β1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s又可以由βi1,βi2,,βir2\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_{r_2}}线性表示

因此αi1,αi2,,αir1\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_{r_1}}可由向量组βi1,βi2,,βir2\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_{r_2}}线性表示。

由于αi1,αi2,,αir1\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_{r_1}}线性无关,则r1r2r_1 \leqslant r_2,也就是rank(α1,α2,,αr)rank(β1,β2,,βs)\text{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)\leqslant \text{rank}(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)

题目5.

APn×nA\in\mathbb{P}^{n\times n},Pn×n\mathbb{P}^{n\times n}中全体与AA可交换的矩阵记为 W={XPn×nAX=XA}W=\left\{X\in\mathbb{P}^{n\times n}\mid AX=XA\right\}

  1. 证明:WWPn×n\mathbb{P}^{n\times n}的一个子空间;

  2. A=(10002000n)A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & n\\ \end{matrix}\right)时,求WW的维数和一组基

回顾概念:

  1. 数域P\mathbb{P}上线性空间VV的非空子集WWVV的一个线性子空间当且仅当WW对于VV的两种运算封闭,即

    (1)如果α,βW\alpha,\beta\in W,则α+βW;\alpha+\beta\in W;

    (2)如果 kP,αWk\in\mathbb{P},\alpha\in W,则 kαW.k\alpha\in W.

    也就是WW具有加法封闭性与数乘封闭性

  2. 如果线性空间VV中有nn个线性无关的向量,但是没有更多数目的线性无关向量,则称VVnn维的,记为 dim(V)=n\dim(V)=n ;如果在VV中可以找到任意多个线性无关的向量,则称VV是无限维的.如果在线性空间VV中有nn个线性无关的向量α1,α2,,\alpha_1,\alpha_2,\cdots, αn\alpha_n,并且VV中任一向量都可由α1,α2,,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n 线性表示,则dim(V)=n\dim(V)=n.

  3. VV为数域P\mathbb{P}上的nn维线性空间,VVnn个线性无关的向量ε1,ε2,,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n称为VV的一组基.设α\alphaVV中任一向量,则α\alpha可惟一地表示为基ε1,ε2,,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n的线性组合

解:

(1)证明: 只要验证封闭性即可。为此,任取X,YW,kPX,Y\in W,k\in \mathbb{P},则

A(X+Y)=AX+AY=XA+YA=(X+Y)AA\left(X+Y\right)=AX+AY=XA+YA=\left(X+Y\right)A
A(kX)=kAX=kXA=(kX)AA\left(kX\right)=kAX=kXA=\left(kX\right)A

因此,X+Y,kXWX+Y,kX\in W。由X,Y,kX,Y,k 的任意性,WW对加法和数乘封闭,构成了Pn×nP^{n\times n}的一个子空间。

(2)

任取X=(x11x12x1nx21x22x2nxn1xn2xnn)Pn×nX = \left(\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn}\\ \end{matrix}\right) \in \mathbb{P}^{n\times n},则有

AX=(10002000n)(x11x12x1nx21x22x2nxn1xn2xnn)=(x11x12x1n2x212x222x2nnxn1nxn2nxnn)XA=(x11x12x1nx21x22x2nxn1xn2xnn)(10002000n)=(x112x12nx1nx212x22nx2nxn12xn2nxnn) AX=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & n\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn}\\ \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\ 2x_{21} & 2x_{22} & \cdots & 2x_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ nx_{n1} & nx_{n2} & \cdots & nx_{nn}\\ \end{matrix}\right) \\ XA=\left(\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn}\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & n\\ \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} x_{11} & 2x_{12} & \cdots & nx_{1n}\\ x_{21} & 2x_{22} & \cdots & nx_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_{n1} & 2x_{n2} & \cdots & nx_{nn}\\ \end{matrix}\right)

由于AX=XAAX=XA,则可得除主对角线元素外,XX的其他元素全为0,也即XX是对角阵

X=(x11000x22000xnn)=x11(100000000)+x22(000010000)++xnn(000000001)=x11E11+x22E22++xnnEnn\begin{align*} X = \left(\begin{matrix} x_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & x_{22} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & x_{nn}\\ \end{matrix}\right) &= x_{11}\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right)+ x_{22}\left(\begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right)+\cdots+ x_{nn}\left(\begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1\\ \end{matrix}\right)\\ &=x_{11}E_{11}+x_{22}E_{22}+\cdots+x_{nn}E_{nn} \end{align*}

由于E11,E22,,EnnE_{11},E_{22},\cdots,E_{nn}线性无关,因此是WW的一组基,且WW的维数为nn

题目6

求下列由向量{αi\alpha_i}生成的子空间与由向量{βi\beta_i}生成的子空间的交与和的维数和一组基:

{α1=(1,0,2,1)Tα2=(2,0,1,1)Tα3=(3,0,3,0)T{β1=(1,1,0,1)Tβ2=(4,1,3,1)T\begin{cases} {\alpha_{1}=(1,0,2,1)^{\mathrm{T}}} \\\\ {\alpha_{2}=(2,0,1,-1)^{\mathrm{T}}} \\\\ {\alpha_{3}=(3,0,3,0)^{\mathrm{T}}} \end{cases} \qquad \begin{cases} \beta_1=(1,1,0,1)^\mathrm{T}\\\\ \beta_2=(4,1,3,1)^\mathrm{T} \end{cases}

回顾概念:

  1. V1,V2V_1,V_2 是数域P\mathbb{P}上线性空间VV的两个子空间,则它们的交V1V2V_1\bigcap V_2也是VV的子空间
  2. V1,V2V_1,V_2是数域P\mathbb{P}上线性空间VV的两个子空间,则集合
    {α1+α2α1V1,α2V2}\{\alpha_1+\alpha_2\mid\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\}
    称为V1V_1V2V_2的和,记为V1+V2V_1+V_2,也是数域P\mathbb{P}上线性空间VV的子空间
  3. (维数公式)设V1,V2V_1,V_2是数域P\mathbb{P}上线性空间VV的两个有限维子空间,则V1V2V_1 \bigcap V_2V1+V2V_1+V_2都是有限维的,并且
    dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1V2)\dim(V_1)+\dim(V_2)\:=\:\dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\:\bigcap V_2)
  4. 极大线性无关组的求法:将向量组作为列向量构造矩阵,用初等行变换将矩阵化为上三角阶梯矩阵,上三角阶梯矩阵的非零行数即向量组的秩,非零行的首非零元所在列对应的向量是向量组的一个极大无关组

解:

先求和空间的维数与基,由于span({αi})+span({βi})=span({αi}{βi})\text{span}(\{\alpha_i\})+\text{span}(\{\beta_i\})=\text{span}(\{\alpha_i\}\bigcup\{\beta_i\}), 而span({αi}{βi})\text{span}(\{\alpha_i\}\bigcup\{\beta_i\})的维数为{αi}{βi}\{\alpha_i\}\bigcup\{\beta_i\}的秩,基为{αi}{βi}\{\alpha_i\}\bigcup\{\beta_i\}的极大线性无关组

(α1,α2,α3,β1,β2)(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2)进行初等行变换,也即

(12314000112130311011)(12314000110332503303)(12314033030332500011)(12314011010002200011)(12314011010001100000)(10101011010001100000)\begin{align*} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 3 & 0 & 3\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right) &\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & -3 & -3 & -2 & -5\\ 0 & -3 & -3 & 0 & -3\\ \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 4\\ 0 & -3 & -3 & 0 & -3\\ 0 & -3 & -3 & -2 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right) \\ &\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 4\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 4\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right) \end{align*}

也就是说,和空间的维数为3,基为α1,α2,β1\alpha_1,\alpha_2,\beta_1

再求交空间的维数与基,任取一个向量αspan({αi})span({βi})\alpha \in \text{span}(\{\alpha_i\})\bigcap\text{span}(\{\beta_i\}),则α=k1α1+k2α2+k3α3=k4β1k5β2\alpha = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=-k_4\beta_1-k_5\beta_2,也就是

k1α1+k2α2+k3α3+k4β1+k5β2=(α1,α2,α3,β1,β2)(k1k2k3k4k5)=0(10101011010001100000)(k1k2k3k4k5)=0{k1=k3k5k2=k3k5k3是自由变量k4=k5k5是自由变量k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\beta_1+k_5\beta_2=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2)\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\\k_5\end{pmatrix}=0 \\ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\\k_5\end{pmatrix}=0 \\ \begin{cases} k_1= -k_3-k_5\\ k_2= -k_3-k_5\\ k_3 \text{是自由变量}\\ k_4=-k_5 \\ k_5 \text{是自由变量} \\ \end{cases}

也即,

α=k1α1+k2α2+k3α3=k4β1k5β2=k5(β1β2)\begin{align*} \alpha &= k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3 \\ &=-k_4\beta_1-k_5\beta_2=k_5(\beta_1-\beta_2) \end{align*}

也就是说,交空间的维数为1,基为(β1β2)(\beta_1-\beta_2)

题目7

S,K\mathbf{S},\mathbf{K}分别是nn阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体,证明S,K\mathbf{S},\mathbf{K}均为线性空间Rn×n\mathbf{R}^{n\times n}的子空间,并且Rn×n=SK\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}\oplus\mathbf{K} (这里的\oplus表示直和,教科书上的符号不是标准符号打不出来)

回顾概念:

  1. V1,V2V_1,V_2是数域P\mathbb{P}上线性空间VV的两个子空间,则下面的叙述是等价的:

    (1)和V1+V2V_1+V_2是直和;

    (2)和V1+V2V_1+V_2中零向量的表示法惟一,即若α1+α2=0(α1V1,α2V2)\alpha_1+\alpha_2=0(\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2),则α1=0,α2=0\alpha_1=0,\alpha_2=0

    (3)V1V2={0}V_1\cap V_2=\{0\}

    (4)dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)\dim(V_1+V_2)=\dim(V_1)+\dim(V_2)

  2. AT=AA^T=A,则称AA为对称矩阵,若AT=AA^T=-A,则称AA为反对称矩阵

  3. 要证明Rn×n=SK\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}\oplus\mathbf{K},先要证明Rn×n=S+K\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}+\mathbf{K},再证明S+K\mathbf{S}+\mathbf{K}是直和

解: 任取A,BRmnA,B\in R^{m\cdot n}, k,lRk,l\in R

A,BSA,B\in S,则(kA+lB)T=kAT+lBT=kA+lB(kA+lB)^T=kA^T+lB^T=kA+lB,也即kA+lBSkA+lB \in S

A,BKA,B\in K,则(kA+lB)T=kAT+lBT=kAlB=(kA+lB)(kA+lB)^T=kA^T+lB^T=-kA-lB=-(kA+lB),也即kA+lBKkA+lB \in K

S,K\mathbf{S},\mathbf{K}均为线性空间Rn×n\mathbf{R}^{n\times n}的子空间

任取ARmnA\in R^{m\cdot n},则有A=A+AT2+AAT2A = \frac{A+A^T}{2} + \frac{A-A^T}{2},其中显然A+AT2S\frac{A+A^T}{2}\in \mathbf{S}AAT2K\frac{A-A^T}{2}\in \mathbf{K},于是Rn×n=S+K\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}+\mathbf{K}

任取ASKA\in \mathbf{S}\cap\mathbf{K},则A=AT=ATA=A^T=-A^T,也即A=0A=0,故SK={0}\mathbf{S}\cap\mathbf{K} = \{0\},故Rn×n=SK\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}\oplus\mathbf{K}

题目8

V={[aa+bcc]a,b,cR}V=\left\{ \begin{bmatrix} a & a+b\\ c & c\\ \end{bmatrix} \bigg| a,b,c\in\mathbf{R} \right\}

作出线性空间VVR3\mathbf{R}^{3}的同构对应

回顾概念:

  1. VVVV'都是数域P\mathbb{P}上的线性空间,如果存在VVVV'上的一一映射σ\sigma 满足

    (1):σ(α+β)=σ(α)+σ(β)\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)

    (2):σ(kα)=kσ(α),\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha),

    其中α,β{\alpha,\beta}VV中任意向量,kk是数域P\mathbb{P}中任意数,则称σ\sigmaVVVV^{\prime}的同构映射,并且称VVVV^{\prime}是同构的

    前面的讨论说明在数域P\mathbb{P}nn 维线性空间VV中取定一组基以后,向量与它的坐标之间的对应就是VVPn\mathbb{P^n}的一个同构映射.因此数域P\mathbb{P}上任一nn维线性空间都与Pn\mathbb{P}^n 同构

解:

(aa+bcc)=a(1100)+b(0100)+c(0011)\left(\begin{matrix} a & a+b \\ c & c \\ \end{matrix}\right) = a\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right) + b\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right) + c\left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix}\right)

显然,(1100),(0100),(0011)\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix}\right)是线性无关的,因此是线性空间VV的一组基,也就是说(abc)\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}是在这组基下的坐标,故满足 σ[(aa+bcc)]=(abc)\sigma\left[ \left(\begin{matrix} a & a+b \\ c & c \\ \end{matrix}\right)\right]=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}的映射σ\sigma为线性空间VVR3\mathbf{R}^{3}的同构对应

本文作者:insomnia

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