武大的矩阵论教材今年改为了南京航空航天大学戴华著的《矩阵论》，上课时老师会布置一些作业并指出期末考试就是上课讲的和布置作业的范围，所以我想，同步到blog吧，方便期末周复习~

题目1.

设 $f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C$ 证明：若$f$和$g$都是单（满）映射，则$g \cdot f$也是单（满）映射.

回顾概念：

1. 设$f$是集合$A$到集合$B$的一个映射，如果对任意$a,b \in A$，当$a \neq b$时有$f(a) \neq f(b)$，则称$f$是集合$A$到集合$B$内的一一映射或称单映射；
2. 如果对任意$b\in B$都有一个$a\in A$使得$f(a)=b$(即$R(f)=B$)，则称$f$是$A$到$B$上的映射或称$f$是$A$到$B$的满映射;
3. 如果映射$f$既是单映射又是满映射，则称$f$是$A$到$B$上的一一映射或称$f$是$A$到$B$的双映射.
4. 设$A,B,C$是三个非空集合，并设有两个映射$f_1:A\rightarrow B， f_2:B\rightarrow C$，由$f_1,f_2$确定的$A$到$C$的映射$f_3:a\rightarrow f_2(f_1(a)), a\in A$称为映射$f_1$和$f_2$的乘积，记为$f_3=f_2 \cdot f_1$.

证明：

若$f$和$g$都是单映射，任取$a \neq b \in A$，由单映射的性质则有$f(a) \neq f(b) \in B$，由于$g$是单映射，则$g(f(a)) \neq g(f(b)) \in C$，则说明$g \cdot f$是单映射

若$f$和$g$都是满映射，则可以任取一$z \in C$，那么存在一$y \in B$满足$g(y) = z$，由于$g$是满映射，则存在一$x \in A$满足$f(x) = y$，那么也就是说任取一$z \in C$，存在$x \in A$满足$g(f(x)) = z$，则说明$g \cdot f$是满映射

题目2.

设 $f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C$ 证明：若$f$和$g$都是可逆映射，则$g \cdot f$也是可逆映射，并且有$(g \cdot f)^{-1} = f^{-1}\cdot g^{-1}$

回顾概念：

1. 有映射$f:A\rightarrow B$，如果存在映射$g:B\rightarrow A$使得$g \cdot f= I_A，f \cdot g=I_B$其中$I_A,I_B$分别是$A$与$B$上的恒等映射，则称$g$为$f$的逆映射，记为$f^{-1}$,如果映射$f$有逆映射$f^{-1}$，则称$f$为可逆映射.
2. 映射的乘积适合结合律

证明： 由于$f$和$g$都是可逆映射，则存在以下等式成立

所以，由可逆映射的概念，$g \cdot f$也是可逆映射，且有$(g \cdot f)^{-1} = f^{-1}\cdot g^{-1}$

题目3.

试证：在$\mathbb{R^{2\times2}}$中矩阵$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关

回顾概念：

1. $V$是数域$\mathbb{P}$上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r (r\geqslant1)$是$V$中一组向量，如果存在$r$个不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_r \in \mathbf{P}$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r = 0$，则称$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r (r\geqslant1)$线性相关；如果向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r (r\geqslant1)$不线性相关，就称为线性无关.

证明： 若$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关，则存在不全为0的$k_1,k_2,k_3,k_4 \in \mathbb{R}$，满足

也即有

也即

对增广矩阵进行高斯消元法

也就是说

与$k_1,k_2,k_3,k_4$不全为0矛盾，所以$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关.

题目4.

设$V$为数域$\mathbb{P}$上的线性空间，如果$V$中向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$，可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，证明:$\text{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)\leqslant \text{rank}(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)$

回顾概念：

1. $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$与$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$是线性空间$V$中两个向量组，如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$中每个向量都可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$可以由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，如果向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$与向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$可以互相线性表示，则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$与向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$是等价的.
2. 设$V$为数域$\mathbb{P}$上的线性空间，如果如果$V$中向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关，并且可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，则$r \leqslant s$
3. $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$是线性空间$V$中一组向量，如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$中存在$r$个线性无关的向量$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r} (1\leqslant i_j \leqslant s,j=1,\cdots,r)$，并且$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$中任一向量都可由向量组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$线性表示，则称$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的极大线性无关组，数$r$称为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的秩，记为 $\text{rank}\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\}=r$

证明： 假设$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_{r_1}}$是$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$的极大线性无关组，$\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_{r_2}}$为$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$的极大线性无关组，也就是说$\text{rank}\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}=r_1$, $\text{rank}\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\}=r_2$.

根据定义，若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$，可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，则$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_{r_1}}$也可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示。

而$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$又可以由$\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_{r_2}}$线性表示

因此$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_{r_1}}$可由向量组$\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_{r_2}}$线性表示。

由于$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_{r_1}}$线性无关，则$r_1 \leqslant r_2$，也就是$\text{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)\leqslant \text{rank}(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)$

题目5.

设$A\in\mathbb{P}^{n\times n}$,$\mathbb{P}^{n\times n}$中全体与$A$可交换的矩阵记为 $W=\left\{X\in\mathbb{P}^{n\times n}\mid AX=XA\right\}$

1. 证明:$W$ 是 $\mathbb{P}^{n\times n}$的一个子空间;

2. 当$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & n\\ \end{matrix}\right)$时,求$W$的维数和一组基

回顾概念：

1. 数域$\mathbb{P}$上线性空间$V$的非空子集$W$是$V$的一个线性子空间当且仅当$W$对于$V$的两种运算封闭,即

   (1)如果$\alpha,\beta\in W$,则$\alpha+\beta\in W;$

   (2)如果 $k\in\mathbb{P},\alpha\in W$,则 $k\alpha\in W.$

   也就是$W$具有加法封闭性与数乘封闭性

2. 如果线性空间$V$中有$n$个线性无关的向量,但是没有更多数目的线性无关向量,则称$V$是$n$维的,记为 $\dim(V)=n$ ;如果在$V$中可以找到任意多个线性无关的向量,则称$V$是无限维的.如果在线性空间$V$中有$n$个线性无关的向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,$ $\alpha_n$,并且$V$中任一向量都可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性表示,则$\dim(V)=n$.

3. 设$V$为数域$\mathbb{P}$上的$n$维线性空间,$V$中$n$个线性无关的向量$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$称为$V$的一组基.设$\alpha$是$V$中任一向量,则$\alpha$可惟一地表示为基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$的线性组合

解：

（1）证明： 只要验证封闭性即可。为此,任取$X,Y\in W,k\in \mathbb{P}$,则

因此,$X+Y,kX\in W$。由$X,Y,k$ 的任意性,$W$对加法和数乘封闭,构成了$P^{n\times n}$的一个子空间。

（2）

任取$X = \left(\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn}\\ \end{matrix}\right) \in \mathbb{P}^{n\times n}$，则有

由于$AX=XA$，则可得除主对角线元素外，$X$的其他元素全为0，也即$X$是对角阵

由于$E_{11},E_{22},\cdots,E_{nn}$线性无关，因此是$W$的一组基，且$W$的维数为$n$

题目6

求下列由向量{$\alpha_i$}生成的子空间与由向量{$\beta_i$}生成的子空间的交与和的维数和一组基:

回顾概念：

1. 设$V_1,V_2$ 是数域$\mathbb{P}$上线性空间$V$的两个子空间,则它们的交$V_1\bigcap V_2$也是$V$的子空间
2. 设$V_1,V_2$是数域$\mathbb{P}$上线性空间$V$的两个子空间,则集合
   $$\{\alpha_1+\alpha_2\mid\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\}$$
   称为$V_1$与$V_2$的和,记为$V_1+V_2$,也是数域$\mathbb{P}$上线性空间$V$的子空间
3. (维数公式)设$V_1,V_2$是数域$\mathbb{P}$上线性空间$V$的两个有限维子空间,则$V_1 \bigcap V_2$ 与$V_1+V_2$都是有限维的,并且
   $$\dim(V_1)+\dim(V_2)\:=\:\dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\:\bigcap V_2)$$
4. 极大线性无关组的求法：将向量组作为列向量构造矩阵，用初等行变换将矩阵化为上三角阶梯矩阵，上三角阶梯矩阵的非零行数即向量组的秩，非零行的首非零元所在列对应的向量是向量组的一个极大无关组

解:

先求和空间的维数与基，由于$\text{span}(\{\alpha_i\})+\text{span}(\{\beta_i\})=\text{span}(\{\alpha_i\}\bigcup\{\beta_i\})$， 而$\text{span}(\{\alpha_i\}\bigcup\{\beta_i\})$的维数为$\{\alpha_i\}\bigcup\{\beta_i\}$的秩，基为$\{\alpha_i\}\bigcup\{\beta_i\}$的极大线性无关组

对$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2)$进行初等行变换，也即

也就是说，和空间的维数为3，基为$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1$

再求交空间的维数与基，任取一个向量$\alpha \in \text{span}(\{\alpha_i\})\bigcap\text{span}(\{\beta_i\})$，则$\alpha = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=-k_4\beta_1-k_5\beta_2$，也就是

也即，

也就是说，交空间的维数为1，基为$(\beta_1-\beta_2)$

题目7

设$\mathbf{S},\mathbf{K}$分别是$n$阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体,证明$\mathbf{S},\mathbf{K}$均为线性空间$\mathbf{R}^{n\times n}$的子空间,并且$\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}\oplus\mathbf{K}$ （这里的$\oplus$表示直和，教科书上的符号不是标准符号打不出来）

回顾概念：

1. 设$V_1,V_2$是数域$\mathbb{P}$上线性空间$V$的两个子空间,则下面的叙述是等价的:

   (1)和$V_1+V_2$是直和;

   (2)和$V_1+V_2$中零向量的表示法惟一,即若$\alpha_1+\alpha_2=0(\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2)$,则$\alpha_1=0,\alpha_2=0$

   (3)$V_1\cap V_2=\{0\}$

   (4)$\dim(V_1+V_2)=\dim(V_1)+\dim(V_2)$

2. 若$A^T=A$，则称$A$为对称矩阵，若$A^T=-A$，则称$A$为反对称矩阵

3. 要证明$\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}\oplus\mathbf{K}$，先要证明$\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}+\mathbf{K}$，再证明$\mathbf{S}+\mathbf{K}$是直和

解： 任取$A,B\in R^{m\cdot n}$, $k,l\in R$

若$A,B\in S$，则$(kA+lB)^T=kA^T+lB^T=kA+lB$，也即$kA+lB \in S$

若$A,B\in K$，则$(kA+lB)^T=kA^T+lB^T=-kA-lB=-(kA+lB)$，也即$kA+lB \in K$

故$\mathbf{S},\mathbf{K}$均为线性空间$\mathbf{R}^{n\times n}$的子空间

任取$A\in R^{m\cdot n}$，则有$A = \frac{A+A^T}{2} + \frac{A-A^T}{2}$，其中显然$\frac{A+A^T}{2}\in \mathbf{S}$，$\frac{A-A^T}{2}\in \mathbf{K}$，于是$\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}+\mathbf{K}$

任取$A\in \mathbf{S}\cap\mathbf{K}$，则$A=A^T=-A^T$，也即$A=0$，故$\mathbf{S}\cap\mathbf{K} = \{0\}$，故$\mathbf{R}^{n\times n}=\mathbf{S}\oplus\mathbf{K}$

题目8

设

作出线性空间$V$到$\mathbf{R}^{3}$的同构对应

回顾概念：

1. 设$V$与$V'$都是数域$\mathbb{P}$上的线性空间,如果存在$V$到$V'$上的一一映射$\sigma$ 满足

   (1):$\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$

   (2):$\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha),$

   其中${\alpha,\beta}$是$V$中任意向量,$k$是数域$\mathbb{P}$中任意数,则称$\sigma$为$V$到$V^{\prime}$的同构映射,并且称$V$与$V^{\prime}$是同构的

   前面的讨论说明在数域$\mathbb{P}$上 $n$ 维线性空间$V$中取定一组基以后,向量与它的坐标之间的对应就是$V$到$\mathbb{P^n}$的一个同构映射.因此数域$\mathbb{P}$上任一$n$维线性空间都与$\mathbb{P}^n$ 同构

解:

显然，$\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix}\right)$是线性无关的，因此是线性空间$V$的一组基，也就是说$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$是在这组基下的坐标，故满足 $\sigma\left[ \left(\begin{matrix} a & a+b \\ c & c \\ \end{matrix}\right)\right]=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$的映射$\sigma$为线性空间$V$到$\mathbf{R}^{3}$的同构对应